La hora punta, explicada con números
Por qué la cola no crece poco a poco sino de golpe. La teoría de colas en lenguaje llano, con la ley de Little y lo que pasa cuando un local va al 90 %.
A las 13:20 hay dos personas esperando. A las 13:35, nueve. Y no han entrado cuatro veces más clientes: han entrado unos pocos más, y eso ha bastado.
Esto tiene una explicación matemática con más de un siglo de historia. Se llama teoría de colas, y entender su idea principal cambia la forma de mirar la hora punta.
Un ingeniero de teléfonos en Copenhague
En 1909, Agner Krarup Erlang, que trabajaba para la compañía telefónica de Copenhague, demostró que las llamadas que llegan al azar siguen una ley matemática precisa (Erlang, 1909). Sobre esa base, él y quienes vinieron después construyeron una rama entera de las matemáticas que hoy se usa para dimensionar centralitas, cajas de supermercado, urgencias o servidores de internet.
Dos resultados de esa teoría explican casi todo lo que pasa en un mostrador a mediodía.
La ley de Little: cola igual a llegadas por espera
En 1961, John Little demostró una relación tan sencilla como útil: el número medio de personas en una cola es igual al ritmo al que llegan multiplicado por el tiempo medio que esperan (Little, 1961).
Si a tu mostrador llegan 2 personas por minuto y cada una espera 3 minutos, tendrás de media 6 personas en la cola. Y al revés: si sabes cuánta gente hay en la cola y cuánta llega, sabes cuánto se espera. Vale para casi cualquier cola estable, da igual en qué orden se atienda o cómo se repartan las llegadas.
Por qué la cola explota al final
Aquí viene lo que va contra la intuición. Llamemos ocupación a la parte del tiempo que el personal pasa atendiendo. En el modelo más sencillo de la teoría de colas, con llegadas al azar y una persona atendiendo, la espera media crece muy despacio al principio y se dispara cerca del límite (Kleinrock, 1975).
Con un minuto de atención por cliente, la espera media en la cola queda así:
| Ocupación del personal | Espera media en la cola |
|---|---|
| 50 % | 1 minuto |
| 80 % | 4 minutos |
| 90 % | 9 minutos |
| 95 % | 19 minutos |
Pasar del 80 % al 90 % de ocupación significa atender un 12,5 % más de clientes, y la espera más que se duplica. Del 90 % al 95 % hay solo un 5,6 % más de clientes, y la espera vuelve a duplicarse.
Los números exactos dependen de cada local, pero la forma de la curva no. John Kingman demostró en 1961 que una cola con un solo puesto de atención se comporta así cerca del límite aunque las llegadas no sean del todo al azar, y que la variabilidad la empeora: clientes que llegan en grupo, pedidos que tardan muy distinto (Kingman, 1961).
Lo que significa para tu local
La hora punta es otro régimen. Es el momento en que el local roza su capacidad, y ahí cada cliente de más pesa mucho más que a media mañana.
La media del día engaña. Un local puede tener tres personas de cola de media y, aun así, pasar veinte minutos con nueve. Son esos veinte minutos los que cuestan clientes, y una media diaria los borra.
Los refuerzos pequeños funcionan. En el modelo de la tabla, bajar la ocupación del 95 % al 85 % durante media hora reduce la espera media de 19 a menos de 6 minutos. No hace falta duplicar la plantilla: hace falta reforzar en el momento justo.
El personal suele ajustarse tarde. En el mostrador de supermercado que estudiaron Lu y sus colegas, los picos de afluencia de los días laborables iban de 11:00 a 14:00 y de 18:00 a 20:00. El número de empleados se ajustaba algo, pero no lo suficiente, así que la cola seguía el mismo patrón que la afluencia (Lu et al., 2013).
Medir antes de cambiar
La teoría explica qué forma tiene el problema. Lo que no dice es en qué minutos se forma la cola en tu local, cuánto dura ni cuánta gente se va por ella. Eso hay que medirlo, minuto a minuto, en tu franja fuerte. Es lo que hacemos en el Diagnóstico.
Fuentes
- Erlang, A. K. (1909). «Sandsynlighedsregning og Telefonsamtaler» («La teoría de probabilidades y las conversaciones telefónicas»). Nyt Tidsskrift for Matematik B, 20.
- Little, J. D. C. (1961). «A Proof for the Queuing Formula». Operations Research, 9(3), 383-387. doi:10.1287/opre.9.3.383.
- Kingman, J. F. C. (1961). «The Single Server Queue in Heavy Traffic». Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 57(4), 902-904. doi:10.1017/S0305004100036094.
- Kleinrock, L. (1975). Queueing Systems, Volume 1: Theory. Wiley.
- Lu, Y., Musalem, A., Olivares, M. y Schilkrut, A. (2013). «Measuring the Effect of Queues on Customer Purchases». Management Science, 59(8), 1743-1763. doi:10.1287/mnsc.1120.1686.